“大家”说 | 李建华:数学与解题--数学与数学教育视角的反思

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我们的经验中,数学离不开解题,数学作业、数学考试、数学竞赛,离开解题似乎就不能有数学。数学教科书的体例似乎也印证了这一点,没有哪本数学的教科书会没有习题(古希腊的《原本》是个例外)。据说,著名数学家华罗庚先生也曾提到,读数学书而不做习题,等于入宝山而空返。于是,数学似乎就等于解题了,数学能力似乎就等同于解题能力,数学的考试成绩成为衡量数学学习水平的唯一标准,很多地区和学校,将数学教师的解题能力作为评价优秀数学教师的重要条件。这样的情形是合理的吗?事实上,常常是因为解题,使很多人对数学心生畏惧,最终远离数学,而另一方面,最“牛”的数学教师(甚至数学家),也不敢夸口说,在任何时候都能够解决所有的数学考试中(特别是数学竞赛中)的数学问题。那该怎样看待数学与解题的关系呢? 


从数学的视角看,首先需要厘清“什么是数学问题”,在这里我们不打算做那些令人纠结的哲学化的概念辨析,只将“数学问题”理解为源自于数学内部的自然的疑问或者源自于数学外部(物理学、经济学、数理逻辑等学科或者现实)的可以与数学相关联的疑问。在这个基础上,数学存在的价值就是帮助人们用数学的方式来找到这些疑问的答案,数学在这些答案的解决过程中获得发展。不用更多的例证,希尔伯特(D. Hilbert)1900年著名的23个数学问题,几乎引领了一个世纪数学的发展,很好地说明了数学问题对于数学的重要性。


从数学教育视角的分析,数学教科书中出现习题,应该源自于苏格拉底(Soctates)的“产婆术”式的思想启发方法,其目的原本应该是帮助学生,在自己的头脑中,主动构建数学知识。


显然,这两个源头上的“数学问题”,含义是不完全相同的,目标则完全不同,前者旨在体现数学的本体论价值,后者则是为着学生理解和主动建构数学而做的设计。这两个源头上的“数学问题”及其目标都是非常有意义的,也恰好构成了现代数学教育中数学与解题关系的关键。


数学作业、数学考试、数学竞赛中的数学问题不具备上述两个性质,虽然其中不泛有背景和历史的好问题,但因为缺少系统化的设计而变得散乱无序,大部分沦为智巧性的问题,失去了原本应该有的价值。大学数学教科书中,优秀的经典书目往往其习题设计与整体构思是一脉相承的,习题既是引发思考的“助产士”,也是正文主题的重要组成部分,这样的习题当然是重要的了,华罗庚先生在维诺格拉多夫《数论基础》中文版序言中,对该书的习题做了这样的评述:

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华罗庚先生的这个意思经常被误解,并被错误地用来证明“做数学习题”的重要性。数学的美在于它以揭示世界的秩序为己任,并不断给人们展示这种秩序与和谐,这其中包含着一个又一个自然而优美的问题及其对解答的探索过程,这是数学迷人魅力的根本所在。杂乱无章的习题是违背这一精神的,它的危害也有目共睹。


给孩子们更多思考好的数学问题的机会,更多系统地思考数学问题的机会,是反思数学与解题关系的一个收获。


附:李建华个人简介:

曾是北京四中主管教学与科研的校长,数学教师,现任北京师范大学数学科学学院教授。参与国家数学课程标准的研制,人民教育出版社高中数学教科书A版主要编者,ICME12、13受邀报告人,九章格数学创始人。他出任未来领导力学校学术总顾问,将致力于学校3-18岁全学段课程体系的构建。

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